satriawae

Sifat-sifat relasi

by on Sep.20, 2010, under Matematika Diskret

Ada beberapa sifat yang digunakan untuk mengelompokkan relasi pada suatu himpunan. Disini akan dijelaskan mengenai sifat refleksif,  simetrik dan asimetrik,  serta transitif.

Dalam beberapa relasi, sebuah elemen selalu berelasi dengan elemen itu sendiri. Contohnya, jika R adalah relasi dari semua orang dengan pasangan (x,y) dimana x dan y x dan y memiliki ayah dan ibu yang sama. Maka x R x untuk setiap x.

Definisi 3.

Sebuah relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a)  є R untuk setiap elemen a є  A.

Contoh 3.

Anggaplah relasi di bawah ini terjadi pada himpunan {1,2,3,4}

R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)}

R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)}

R3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)}

R4 = { (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}

R5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}

R6 = {(3,4)}

Makah dari relasi ini yang bersifat refleksif?

Solusi :

R3 dan R5 adalah refleksif karena memiliki seluruh pasangan yang  membentuk (a,a) yaitu (1,1), (2,2), (3,3), (4,4). Sedangkan relasi yang lain hanya mengandung sebagian atau tidak sama sekali.

Dalam beberapa relasi, sebuah elemen berhubungan dengan elemen kedua jika dan hanya jika elemen kedua tersebut juga berhubungan dengan elemen pertama. Namun bisa jadi elemen pertama berhubungan denga elemen kedua, namun elemen kedua tidak berhubungan dengan elemen pertama.

Definisi 4.

Sebuah relasi R pada himpunan A disebut simetris jika (b,a) є R kapanpun (a,b) є R untuk a,b є A. Sebuah relasi R pada himpunan A dimana (a,b) є R dan (b,a) є R hanya jika a=b, untuk (a,b) є R untuk a,b є A disebut asimetrik.

Istilah simetrik dan asimetrik bukanlah suatu kebalikan/lawan kata karena suatu relasi dapat memiliki kedua hal tersebut atau bahkan tidak memiliki keduanya.

Definisi 5.

Relasi pada himpunan A disebut transitif jika kapanpun (a,b) є R dan (b,c) є R, maka (a,c) є R untuk a,b,c є A

Contoh :

Manakah diantara relasi berikut yang memiliki sifat transitif?

R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)}

R2 = { (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}

Solusi:

Transitif = (a,c) є R  dimana (a,b) є R dan (b,c) є R untuk a,b,c є A

R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} adalah tidak transitif karena:

pasangan (3,4) dan (4,1) namun (3,1) ∉ R1

R2 = { (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} adalah transitif karena:

pasangan (3,1) dan (2,1) à (3,1) є R2

pasangan (4,2) dan (2,1) à (4,1) є R2

pasangan (4,3) dan (3,1) à (4,1) є R2

pasangan (4,3) dan (3,2) à (4,2) є R2

Share and Enjoy:
  • Print
  • Digg
  • Sphinn
  • del.icio.us
  • Facebook
  • Mixx
  • Google Bookmarks
  • Blogplay

Leave a Reply

*

Spam Protection by WP-SpamFree

Looking for something?

Use the form below to search the site:

Still not finding what you're looking for? Drop a comment on a post or contact us so we can take care of it!

Visit our friends!

A few highly recommended friends...

Archives

All entries, chronologically...